UCM解析

その6：バラツキってどうやって計算するの？

S銀研究員：さてさて、次は実際に計算してみようというお話でしたね。

Y田研究員：まず、前回のグラフを2つ並べて見てみようか。



S：このカタチの違いを定量化するにはどうしたらよいのか？？ということでしたよね。言ってるそばから既に自分で意味がわかりませんが（笑）

Y：2のグラフは、どちらも赤い直線周辺に集まっているのは同じだけれど、二人の協調性を判断するときに大事なのは「方向別のバラツキの大きさ」の違いなんだ。

S：方向別のバラツキの大きさ、ですか？

Y：そうなんだけど、「方向別のばらつき」の話をする前に、まず単なる「バラツキ」の話をしよう。左のグラフと、右のグラフ。ぱっと見て、どちらの「バラツキ」が大きいように見える？

S: ぱっと見、明らかに右ですね。

Y: 誰が見ても、そうだよね。ところで、ここからの話では、「ぱっと見」というレベルを超えて、いろいろなものを数値化・定量化していくことが必要になってくる。では、この「バラツキ」というものをどうやって数値化する？

S：バラツキの数値化ですか。

Y: 2次元のグラフだから、ちょっと戸惑うかもしれないけど、もし1次元のデータのバラツキを数値化しろと言われたら...

S：えーと、SDとかですか？

Y：そう。分散とか標準偏差（SD)とか。これはどうやって計算するか覚えてる？

S：ウッ（汗）・・・だいたいはわかります。ただ計算式はすぐにはちょっと・・・本を見れば思い出すかなぁ？

Y：オーケー。もし忘れていたら、本かネットでざっとみておいてね（統計学一般については、青木繁伸先生の「統計学自習ノート」なんかすごくお勧め）。
　一次元のデータx(1), x(2), ..., x(n)があって、その平均値をx_mと書けば、分散Vは、

V = { (x(1) - x_m)² + (x(2) - x_m)² + ... + (x(n)- x_m)² }/n
　 = { Σ(x(i) - x_m)² }/n

で計算できる。

S：思い出しましたよ（笑）。

Y：今回のデータは、上のグラフのように２次元なんだけど、この場合の分散はどうやって求めれば良いかわかる？

S：ウッ（汗）・・・最近蒸しますねぇ。ちょっと冷房入れますか？

Y：1次元の場合の分散は、「各データの値（x(i))と平均値（x_m）との距離の二乗和」の平均。2次元の場合も、同じように考えれば良いわけ。ややこしい事をいうと、「距離」のはかり方っていろいろな方法があるんだけど、シンプルなのは、こんな感じ。

　点A(Xa, Ya)と点B(Xb, Yb)との距離　|B - A| = √{ (Xb - Xa)² + (Yb - Ya)² }

S：そうなると、こういうことうですか。まず、メンバー1とメンバー2のi回目の音量をそれぞれm1(i)、m2(i)と書いて、それぞれの平均値をm1_m, m2_mと書くと。そうすれば、平均の場所(座標）は(m1_m, m2_m）。
　この平均の場所からi回目の音量の場所との距離L(i)の二乗は、

(L(i))² = (m1(i) - m1_m)² + (m2(i) - m2_m)²

　これの平均をとれば分散Vが求まるわけで、

　V = { Σ(L(i))² } /n

Y：そういうこと。これからいろんな分散が出てくるから、いま求めた全体(total)の分散はV_totと書くことにしよう。上の2つのグラフの場合、V_totは右のグラフの方が大きいのは明らかだよね。

S: はじめに言ってた、「ぱっと見のバラツキ」がV_totを使うと定量化できるということですね。ということは、V_totが大きいほど協調性が高いということですか？

Y: ばらつきが大きい方が協調性が高いって、変だよね。V_totだけでは協調性はわからない。それじゃ、今度は「全体の分散」ではなくて、「結果の分散」を計算してみようか。

S: 結果、というと？

Y: 今回のケースでは、「2人の合計の音量を一定の値にしたい」という課題だから、結果は合計音量のこと。メンバー2人の合計の音量をMとすれば、i回目の合計音量は、

　M(i) = m1(i) + m2(i)

S: そうなれば、後は同じ計算ですね。Mの平均値をM_m とすれば、結果（result）の分散は、

　V_result = { Σ(M(i) - M_m )² } /n

　結果の分散が小さいということは、結果がうまく制御されているわけだから、協調性高い？！

Y: そういうわけでもない。上の２つのグラフの例は、どちらも結果（合計の音量M(i)）は同じになるように作ってあるんだよね。

S: そうでした（忘れた方は「その４」くらいから見直してみてください）。結果が同じになるように作ってあるので、結果の分散も当然同じです。

Y: 大事なのは、全体のバラツキだけでも、結果のバラツキだけでもなくて、分布の形なんです。

S: 前回からそう言ってましたよね。

Y: 今回からいよいよ数式が出てきて、頭痛くなってきた読者もいるの思うので、続きは次回にしましょう。

S: 今回もUCMの計算まではいかなかったんですね。ほんとにUCMの話になるんですか？

Y: 水曜スペシャルのUFOみたいに言わないで....（例えが古すぎ？）

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その5:協調性をグラフで見てみよう！(Ⅱ) ｜ 生体工学技術へ ｜ その7:結果に影響するﾊﾞﾗﾂｷと影響しないﾊﾞﾗﾂｷ

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