UCM解析

その14：最終回なので遠慮無く数式を使って確認　

作成日 2015.6.24

S銀研究員：さて、いよいよ数式を確認して最後ですね。

Y田研究員：長い道のりでした。それじゃ、まずは復習として、基本的なΔVの計算式を書いてみよう。「UCMの分散V_UCM」と「ORTの分散V_ORT」との差を、「全体（合計音量など）の分散V_tot」で割って正規化したものがΔV、という話しだったね。

\[ \begin{align} 　{ \Delta V ＝（V_{UCM} - V_{ORT}）/　V_{tot} } \label{eq:deltaV} \end{align} \]

　このΔVについてもそうだし、V_UCMもV_ORTもV_totもそうなんだけど、これが何の分散かと言うことを意識する必要ある。

S:　何の分散って、いま説明してもらったとおりですよね。V_totは全体の分散だし、V_UCMはUCM方向の分散ってことじゃないんですか？

Y：それは確かにそうなんだけどね、「何の分散」というのは、厳密にいうなら「何まわりの分散」かってこと。

S:　何まわり？

Y：そう。これまでは、音量の「時間的な変動」を考えてきたので、分散も「時間まわり」の分散を扱ってきたことになるわけ。それに対して、今の例では何試行か実施した結果が得られているわけで、「試行まわり」の分散ってのが出てくる。

S:　時間まわりの分散と、試行まわりの分散、ですか。なんか聞き慣れないですね。

Y：英語だと、variance across time、variance across trialとなるのかな。

S:　across timeなら、時間を横切る分散、時間領域に渡る分散、みたいないニュアンスですかね。

Y：そういう感じ。とにかく、いままでは「時間まわり」の分散を扱ってきたけど、このケースでは「試行まわり」の分散を扱うことになります。
　この２つを混同すると良くないので、ちょっと記号を決めよう。ええと、timeもtrialも頭文字はtでカブっちゃうから、時間はtにして、試行の方はsetのsにでもしておきますか。
　そうすると、これまでメンバー１の音量m₁を、１つの変数i（時間）のパラメータとしてm₁(i)と書いていたところを、変数tとsの両方をパラメータ明示してm₁(t, s)ってな感じの記法にしましょう。

S:　そうしたら、他の変数も、tとsの変数ということになりますか。

Y：そうなるものとならないものがあるから、じっくり見て行こう。
　まず、２人のメンバー合計音量S（注：このSはsetではなくsum）は、「s試行目に時刻tの音量」というように２つのパラメータを規定する必要があるからこうなる。
\[ \begin{align} 　{ S（t,s）＝ m_{1}（t,s） + m_{2}（t,s） } \label{eq:s} \end{align} \]

S：（←　注：このSはsumではなくS銀 ^^;）これは、tとsの変数ですね。

Y：そう。次は各メンバーの分散を考えようか。先に言っておくと、分散はtとsの変数ではなくて、tのみの変数か、sのみの変数になる。分散の計算に平均値が必要なるけど、今度は「時間回り」の平均値と「試行回り」の平均値が出てくる。時間の方はこれまでと同じで合計n回、試行の方は合計r回とする。s試行目のm₁の時間平均をE(m₁(.,s))、各試行の時刻tのときのm₁の試行間平均をE(m₁(t,.))と書くことにしよう。

S:　ちょっと待って下さいよ、えーと、これまでメンバー１の平均音量はE(m₁)と書いてましたね。これは新しい記号だとE(m₁(.,s)), E(m₁((t,.))どっちになるのかな...

Y：それは時間まわりの平均なので、E(m₁(.,s))。

S:　時間回りなのに、パラメータtが出てこないで、sが残るんですね...

Y：ちょっとややこしいかもしれないけど、時間平均といっても、今までと違って「何試行目の時間平均か」が問題になる。試行毎に音量の時間平均が異なるからね。E(m₁(.,s))は、「メンバー1の音量m₁」の「試行s」についての時間平均、ということ。
　そして、これから使うのは、時間平均ではなくて、ある時刻tのときの試行間の平均E(m₁(t,.)）の方。これを使って、試行回りの分散を求めてみよう。時刻tの時点で、試行間にどれだけバラツキがあるか、どのバラツキ方からメンバー間の協調性をどう評価できるか、ということね。
　これまでと同じで、メンバー２名の音量をベクトルPと書こうか。時刻tにおけるs試行目の音量ベクトルP(t,s)の要素はどんなふうに書ける？

S:　結局、「その９」でやった「時間まわり」のことを、「試行回り」に置き換えてゆくってことですよね。そうすれば、こういうことですよね。
\[ \begin{align} 　{ \boldsymbol{P}（t, s）＝ (m_{1}（t,s）, m_{2}（t,s）) } \label{eq:p} \end{align} \]

Y：そういうこと。では、この時刻tにおける試行間の平均のベクトルP(t,.)は？　

S:　試行回りだと記号はP_m(t,.)になるんですね。これは、さっきやった時間まわりの平均E(m₁(.,s))から類推すれば、こうですよね。 \[ \begin{align} 　{\overline{\boldsymbol{P}}（t, .）＝ (E(m_{1}（t,.）), E(m_{2}（t,.）)) } \label{eq:pm} \end{align} \]

Y：そのとおり。次は、時刻tにおける試行sのときのバラツキのベクトルDを求める。これはD(t,s)と書きたいところだけど、そうすると「試行sにおける、時刻tのバラツキ」と区別がつかないので、苦肉の策でD^t(s)と書きますか。

S：了解。「その９」の流れそのままですね。記号にだけ気をつけてっと、 \[ \begin{align} 　{\boldsymbol{D}^t(s）＝ \boldsymbol{P}（t, s） - \overline{\boldsymbol{P}}（t, .） } \label{eq:d} \end{align} \]

Y：続いて、これをUCM成分とORT成分に分けるところがミソ。

S：そうでしたね。「その９」によれば、UCM方向の単位ベクトル Z_UCM とORT方向の単位ベクトル Z_ORTをもってきて、そいつらとの内積をとれば良いってことなんですが、...この場合のZ_UCM とZ_ORTはどうなるんでしょ？

Y：どうなるって？　おんなじですよ。

S：同じですか？　時間回りでも、試行まわりでも？

Y：同じ、同じ。あとで「その８」や「その１１」をじっくり見直してもらえば分かるとおもうけど、要は「二人の音量の合計が、総音量」という関係、つまり、式\eqref{eq:s}の関係、は時間・試行に関わらず同じ。そうなると、「結果に影響しないバラツキの方向」（m₁が増えたとき、m₂が減る）と「結果にモロ影響するバラツキの方向」（ｍ1が増えたとき、m₂も増える）も、これまでと何ら変わるところはない。というわけで、「その８」や「その１１」で求めたZ_UCM とZ_ORTがそのまんま使える。前回（「その１２」)のときはZではなくてeを使ったね。こっちの方が単位ベクトルっぽいからこちらを使おうか。

S：そういうことなら、UCM方向の変動をD_UCM、ORT方向の変動をD_UCMと書けば、こうですね。 \[ \begin{align} 　{D^t_{UCM}（s）＝ \boldsymbol{D}^t(s） \cdot \boldsymbol{e}_{UCM} } \label{eq:dcum}\\ 　{D^t_{ORT}（s）＝ \boldsymbol{D}^t(s） \cdot \boldsymbol{e}_{ORT} } \label{eq:dort} \end{align} \]

Y：そう。D_UCMやD_UCMはベクトルではなくて、スカラね。さらに、全体の変動の大きさが必要だけど、これはDの大きさそのもの。詳しい話は「その６」でやったね。あの回ではLという記号を使ってたけど、ここではそれをD_totと書くことにすれば、結局、 \[ \begin{align} 　{D^t_{tot}（s）＝ |\boldsymbol{D}^t(s）| =\sqrt{\boldsymbol{D}^t(s） \cdot \boldsymbol{D}^t(s）}} \label{eq:dtot}\\ \end{align} \] ここまで準備できれば、あとはその二乗平均をもとめれば、V_UCM、V_ORT、V_totになる。

S：つまりこうですね。

\[ \begin{align} 　{V^t_{UCM} = \frac{1}{m} \sum_{s=1}^mD^t_{UCM}（s）^2} \label{eq:vtucm}\\ 　{V^t_{ORT} = \frac{1}{m} \sum_{s=1}^mD^t_{ORT}（s）^2 } \label{eq:vtort}\\ 　{V^t_{tot} = \frac{1}{m} \sum_{s=1}^mD^t_{tot}（s）^2} \label{eq:vttot} \end{align} \]

Y：はい。これで式\eqref{eq:deltaV}に放り込めばそのままΔVのできあがり。ここでは、これが時刻の関数になっていること明示してΔV(t)と書けば、 \[ \begin{align} 　{ \Delta V(t) ＝（V^t_{UCM} - V^t_{ORT}）/　V^t_{tot} } \label{eq:deltaVt} \end{align} \] となって、一丁上がり。

S：おお、これが目標値が変動する場合のΔVですね。

Y：確かに、目標値が変動する場合、ってことで説明をはじめたけど、実際には目標値は変動しても良いし、しない場合でもよい。より本質的なのは、「試行間の変動についての時系列のΔV」が求まる、ってことかな。とにかく、ここまでで一応終了！

S：お疲れ様でした。はじめに思ってたよりもだいぶ長い話になりましたね。その間に、僕、２回も転職しましたから。

Y：ん？

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